پاسخ فعالیت صفحه 120 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 120 حسابان دوازدهم سلام! این فعالیت به بررسی ارتباط حیاتی بین **علامت مشتق ($f'(x)$)**، **شیب خطوط مماس** و **یکنوایی (روند تغییرات)** تابع ($f(x)$) می‌پردازد. 💡 **تابع $f(x)$** در بازه $[a, e]$ تعریف شده است. --- ### الف) تحلیل شیب خط مماس **شیب خط مماس** در یک نقطه، همان **مشتق** تابع در آن نقطه است. 1. **شیب مثبت (افزایش $f(x)$):** در این بازه‌ها، تابع صعودی است. $$\text{بازه‌های شیب مثبت: } \mathbf{(a, b)}$$ 2. **شیب منفی (کاهش $f(x)$):** در این بازه‌ها، تابع نزولی است. $$\text{بازه‌های شیب منفی: } \mathbf{(b, c) \text{ و } (c, d)}$$ *(توجه:* شیب در $(c, d)$ منفی است، اما تندی آن کم است.) 3. **شیب صفر (تغییرات $f(x)$ صفر است):** در این نقاط یا بازه‌ها، تابع به اوج یا حضیض می‌رسد یا ثابت است. $$\text{نقاط/بازه‌های شیب صفر: } \mathbf{x = b} \text{ (ماکزیمم) و } \mathbf{x = c} \text{ (مینیمم) و بازه } \mathbf{[d, e)}$$ --- ### ب) تحلیل علامت مشتق $f'(x)$ مشتق $f'(x)$ با شیب مماس کاملاً برابر است. 1. **مشتق مثبت ($f'(x) > 0$):** تابع صعودی است. $$\mathbf{(a, b)}$$ 2. **مشتق منفی ($f'(x) < 0$):** تابع نزولی است. $$\mathbf{(b, c) \text{ و } (c, d)}$$ 3. **مشتق برابر صفر ($f'(x) = 0$):** تابع در حال تغییر جهت است یا ثابت است. $$\mathbf{x = b, \quad x = c, \quad [d, e)}$$ --- ### پ) تحلیل یکنوایی تابع $f$ یکنوایی تابع مستقیماً به علامت مشتق وابسته است (قضیه یکنوایی). 1. **صعودی اکید (مشتق مثبت):** تابع همیشه بالا می‌رود. $$\mathbf{[a, b]}$$ 2. **نزولی اکید (مشتق منفی):** تابع همیشه پایین می‌رود. $$\mathbf{[b, c]}$$ *(توجه: در بازه $[c, d]$، تابع نزولی اکید نیست، بلکه فقط نزولی یا غیر صعودی است. با توجه به شکل، تابع در $[b, d]$ نزولی است، اما در $[b, c]$ و $[c, d]$ اکیداً نزولی است.)* $$\mathbf{[c, d]}$$ 3. **ثابت (مشتق صفر):** مقدار تابع تغییر نمی‌کند. $$\mathbf{[d, e]}$$ (اگر نقاط انتهایی را هم در نظر بگیریم، اما اغلب بازه باز $(d, e)$ مد نظر است. با توجه به شکل، بین $d$ و $e$ مقدار تابع ثابت است.) $$\mathbf{[d, e]}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 2 صفحه 120 حسابان دوازدهم این تمرین به شما اجازه می‌دهد تا یک نمودار را با استفاده از **ویژگی‌های مشتق** (که نشان دهنده یکنوایی تابع است) بسازید. ✍️ --- ## 1. تحلیل ویژگی‌های خواسته شده **ویژگی‌های جبری (مشتق):** | بازه | $f'(x)$ | نتیجه یکنوایی | |:---:|:---:|:---:| | $(a, b)$ | منفی | **نزولی اکید** (شیب منفی) | | $(b, c)$ | مثبت | **صعودی اکید** (شیب مثبت) | | $(c, d)$ | صفر | **ثابت** (شیب صفر) | | $(d, e)$ | منفی | **نزولی اکید** (شیب منفی) | **ویژگی‌های مرزی:** * **دامنه:** $[a, e]$ * **مشتق‌پذیری:** $f$ در $(a, c)$ مشتق‌پذیر است. * **ناپیوستگی:** چون در $c$ ضابطه مشتق از مثبت به صفر تغییر کرده، در $d$ ضابطه مشتق از صفر به منفی تغییر کرده است، تابع در $c$ و $d$ باید پیوسته باشد. ## 2. رسم نمودار $f(x)$ برای رسم نمودار، باید منحنی را طوری رسم کنیم که شیب آن در هر بازه با علامت مشتق مطابقت داشته باشد. 1. **شروع در $a$:** از $(a, f(a))$ شروع می‌کنیم. 2. **$(a, b)$ (نزولی اکید):** نمودار را به صورت کاهشی رسم می‌کنیم. 3. **$(b, c)$ (صعودی اکید):** نمودار را به صورت افزایشی رسم می‌کنیم. در $x=b$ (دره)، $f'(b)$ باید **صفر** باشد (نقطه مینیمم). 4. **$(c, d)$ (ثابت):** نمودار را به صورت یک خط افقی رسم می‌کنیم. در $x=c$ (قله) و $x=d$، شیب باید صفر باشد. 5. **$(d, e)$ (نزولی اکید):** نمودار را از $x=d$ به صورت کاهشی به سمت $(e, f(e))$ رسم می‌کنیم. **توجه:** چون $f$ در $(a, c)$ مشتق‌پذیر است، در $x=b$ باید $f'(b)=0$ باشد (نقطه هموار). $ starting low, decreasing to a smooth minimum at $b$, increasing to a smooth maximum at $c$, constant until $d$, and then decreasing to $e$.] ## 3. تعیین یکنوایی تابع $f$ از آنجایی که در تمام بازه‌های ذکر شده، مشتق **غیر صفر** (به جز بازه ثابت $(c, d)$) است، یکنوایی از نوع **اکید** خواهد بود: * **صعودی اکید:** $$athbf{[b, c]}$$ * **نزولی اکید:** $$athbf{[a, b] \text{ و } [d, e]}$$ * **ثابت:** $$athbf{[c, d]}$$